House of Maths School Workshops Primary & Secondary i Dorset & South – äventyr i den fjärde dimensionen

introduktion: föreställ dig en dragkrok: hon kan bara ändra sin position i en riktning: framåt & bakåt, så vi behöver bara ett nummer – hur långt längs repet hon är – för att specificera sin position. Det är en dimension!

föreställ dig nu en myra som kryper på en bordplatta: myran kan krypa framåt & bakåt eller vänster & höger, och vi behöver nu två siffror (t.ex. myrans horisontella och vertikala avstånd från ett visst hörn av bordet) för att hitta exakt var myran är. Det är en extra grad av frihet: två dimensioner!

och slutligen, föreställ dig att du bär en jetpack: du kan nu röra dig fritt i alla våra tre rumsliga dimensioner: framåt & tillbaka, vänster & höger och upp & ner. Tre siffror krävs nu för att beskriva din position vid en given tidpunkt, t.ex. latitud, longitud och höjd. Det är tre dimensioner!

om du tycker att det låter kul, föreställ dig hur coolt det skulle vara om det fanns en fjärde, ny riktning där du också kunde resa! Vad skulle 4-dimensionellt utrymme se ut, och vilken typ av former skulle bo i det?

ordlistan:

TESSERACT: nästa ord i sekvensen: kvadrat, kub,…? Kanten på en kvadrat består av fyra linjesegment; ytan på en kub består av sex rutor; så ”hypersurface” av en tesseract består av åtta kuber!

om $x^2 $ kallas $x $ squared, och $x^3$ = kallas $x $ cubed, då kanske $x^4$ ska kallas”$x$ tesseracted”?!

här är några försök av oss bara människor att rita en tesserakt, baserat på tanken att du kan rita en kub genom att ansluta motsvarande hörn av två något förskjutna rutor; dessa tesserakter görs genom att ansluta motsvarande hörn av två något förskjutna kuber.

 4D rita en kub

4D Tesseract kub i kub 4D Tesseract linjer

DALI CROSS: ett ” nät ”av en tesseract, bestående av 8 kuber som vi föreställer oss kan” vikas upp ” för att göra en tesseract på samma sätt som kuben netto visar består av 6 rutor som viks upp för att göra en kub. Uppkallad efter konstnären Salvador Dali, som använde en i sin 1954 surrealistiska målning ”Corpus Hypercubus”. Det finns 11 olika nät av en kub och 261 distinkta oktokubala nät av en tesserakt. Så där! Tack Stella Software och Wikimedia.org för denna fantastiska bild av Dali Cross!

 kubnät 1

kubnät 1

kubnät 2

kubnät 2

4D Dali Cross

DALI CROSS

HYPERCUBE: den n-dimensionella analogen av ordet ”square”. Kvadrater, kuber och tesseracts är alla typer av hypercube.

polytop: generaliseringen av en polyeder (”många platta sidor / ansikten”) till 4 eller fler dimensioner. En polygon (t. ex. triangel, oktagon) är ett 2D-objekt vars gränser är linjesegment, en polyhedron (t. ex. kub, pyramid) är ett 3D-objekt avgränsat av polygoner, och så en polytop, (t. ex. tesseract, se senare för ett annat exempel) för att någon har turen att bo i fyra rumsliga dimensioner, skulle vara ett 4D-objekt vars gränser är polyeder.

CELL: nästa ord i sekvensen vertex, kant, ansikte,…? De två gränspunkterna för en kant kallas hörn; de tre eller flera gränserna för ett ansikte kallas kanter, de fyra eller flera gränserna för en polyeder kallas ansikten och de fem eller flera gränserna för en 4D-polytop kallas ”celler”. En tesserakt begränsas av 8 kubformade celler, på samma sätt som en kub begränsas av 6 kvadratformade ansikten.

hyperplan: scatter-grafer i 2-dimensionellt utrymme har en linje med bästa passform; i 3D-rymden kan våra punkter på en scatter-graf ha ett plan med bästa passform; och i 4D-rymden måste vi passa en … vad är ordet?… åh ja, en ”hyperplan” med bästa passform!

4D regressionsplan

ett plan som passar bäst på en scatter-graf med två prediktorvariabler. Men hur skulle en hyperplane-of-best-fit se ut på en scatter-graf med tre eller flera prediktorvariabler?

SIMPLEX: nästa ord i sekvenslinjesegmentet, triangeln, tetraedern,…? En triangel är en polygon avgränsad av tre linjesegment; en tetraeder är en polyeder avgränsad av fyra trianglar; och så är en 4-Simplex en” polytop ” (se ovan!) avgränsad av fem tetraeder. 5D-versionen kallas en 5-Simplex. Jag har ofta lärt mig ” Simplexalgoritmen ”till mina elever på A-nivå, men aldrig riktigt” fick det ” förrän jag läste en förklaring av hur algoritmen fungerar i förhållande till en flerdimensionell polytop. Nu kan jag mer eller mindre visualisera det i geometriska termer, och det är ganska meningsfullt.

VAD ÄR POÄNGEN?: matematik verkar ofta vara studiet av siffror, men siffror tillåter oss bara att studera mönster och struktur – det verkliga syftet med matematik. Detta leder ofta till kraftfulla men abstrakta begrepp, bäst beskrivna av algebra men lättast att ”se” med en annan gren av matematisk studie: geometri – studiet av form! Att använda geometriska visualiseringar för att beskriva algebraiska begrepp är ett så kraftfullt verktyg att det skulle vara ett brott att begränsa sin studie till bara de tre rumsliga dimensionerna som vi råkar leva i. Därav alla de fantastiska matematiska uppfinningar i denna ordlista. Läs mer om att länka algebra och geometri här.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.