House of Maths School Workshops Primary & Secondary in Dorset & South – ADVENTURES IN the FOURTH DIMENSION

wprowadzenie: wyobraź sobie linoskoczka: może zmienić swoją pozycję tylko w jednym kierunku: do przodu & do tyłu, więc potrzebujemy tylko jednej liczby – jak daleko jest wzdłuż liny – aby określić jej pozycję. To jeden wymiar!

teraz wyobraź sobie mrówkę pełzającą po blacie: mrówka może czołgać się do przodu & do tyłu lub w lewo & w prawo, a teraz potrzebujemy dwóch liczb (np. poziomej i pionowej odległości mrówki od konkretnego rogu stołu), aby dokładnie wskazać, gdzie jest mrówka. To dodatkowy stopień swobody: dwa wymiary!

i wreszcie, wyobraź sobie siebie w plecaku odrzutowym: możesz teraz swobodnie poruszać się we wszystkich trzech naszych wymiarach przestrzennych: do przodu & do tyłu, w lewo & w prawo i w górę & w dół. Trzy liczby są teraz wymagane, aby opisać swoją pozycję w danym czasie, np. szerokość, długość i wysokość. To trzy wymiary!

jeśli uważasz, że brzmi to fajnie, wyobraź sobie, jak fajnie byłoby, gdyby istniał czwarty, nowy kierunek, w którym można również podróżować! Jak wyglądałaby 4-wymiarowa przestrzeń i jakie kształty by ją zamieszkiwały?

słowniczek:

TESSERACT: następne słowo w kolejności: kwadrat, sześcian,…? Krawędź kwadratu składa się z czterech segmentów liniowych; powierzchnia sześcianu składa się z sześciu kwadratów; więc „hipersurface” tesseraktu składa się z ośmiu sześcianów!

Jeśli $x^2$ nazywa się $x $ kwadrat, a $x^3$ = nazywa się $X$ cubed, to może $x^4$ powinno się nazywać „$x$ tesseracted”?!

oto kilka prób narysowania tesseraktu przez nas, zwykłych ludzi, opartych na idei, że można narysować sześcian, łącząc odpowiednie rogi dwóch lekko przesuniętych kwadratów; te tesserakty są wykonywane przez połączenie odpowiednich wierzchołków dwóch lekko przesuniętych sześcianów.

 rysowanie kostki 4D

4D Tesseract cube in cube  4D Tesseract lines

DALI CROSS: „siatka” tesseraktu, składająca się z 8 sześcianów, które możemy sobie wyobrazić, że mogą się „złożyć”, aby utworzyć Tesserakt w taki sam sposób, jak pokazuje Siatka sześcianów, składa się z 6 kwadratów, które składają się, aby utworzyć sześcian. Nazwany na cześć artysty Salvadora Dali, który użył go w swoim surrealistycznym obrazie „Corpus Hypercubus”z 1954 roku. Istnieje 11 różnych sieci sześcianu i 261 różnych ośmiokubowych sieci tesseraktu. Więc tam! Dziękuję Stella Software i Wikimedia.org za ten wspaniały obraz Krzyża Dali!

 Cube net 1

Cube net 1

cube net 2

Cube net 2

4D Dali Cross

DALI CROSS

HIPERSZEŚCIAN: N-wymiarowy Analog słowa „kwadrat”. Kwadraty, kostki i tesserakty to wszystkie rodzaje hipersześcianów.

POLITOPE: uogólnienie wielościanu („wiele płaskich boków / powierzchni”) na 4 lub więcej wymiarów. Wielokąt (np. Trójkąt, ośmiokąt) jest obiektem 2D, którego granice są segmentami linii, wielościan (np. sześcian, piramida) jest obiektem 3D ograniczonym wielokątami, a więc POLITOPĄ (np. tesseract, zobacz później inny przykład) dla każdej istoty na tyle szczęścia, aby zamieszkać cztery wymiary przestrzenne, byłby obiektem 4D, którego granice są wielościanami.

komórka: następne słowo w sekwencji wierzchołek, krawędź, twarz,…? Dwa punkty graniczne krawędzi nazywane są wierzchołkami; trzy lub więcej granic twarzy nazywa się krawędziami, cztery lub więcej granic wielościanu nazywa się twarzami, a pięć lub więcej granic politopu 4D nazywa się „komórkami”. Tesserakt jest ograniczony 8 komórkami w kształcie sześcianu, tak samo jak sześcian jest ograniczony 6 kwadratowymi ścianami.

HYPERPLANE: wykresy punktowe w przestrzeni 2-wymiarowej mają linię najlepiej dopasowaną; w przestrzeni 3-D nasze punkty na wykresie punktowym mogą mieć płaszczyznę najlepiej dopasowaną; a w przestrzeni 4D musielibyśmy dopasować … co to za słowo?… o tak, „hyperplane” w najlepszym wydaniu!

płaszczyzna regresji 4D

płaszczyzna najlepiej pasująca do wykresu punktowego z dwiema zmiennymi predyktora. Ale jak wyglądałby hiperplan najlepiej dopasowany na wykresie punktowym z trzema lub więcej zmiennymi predyktorowymi?

SIMPLEX: następne słowo w segmencie linii sekwencji, Trójkąt, czworościan,…? Trójkąt jest wielokątem ograniczonym trzema segmentami liniowymi; czworościan jest wielościanem ograniczonym czterema trójkątami; a więc 4-Simplex jest „politopą” (patrz wyżej!) Ograniczony pięcioma czworościanami. Wersja 5D nazywa się 5-Simplex. Często uczyłem ” algorytmu Simplex „moim uczniom na poziomie A, ale nigdy go nie” dostałem”, dopóki nie przeczytałem wyjaśnienia, jak algorytm działa w odniesieniu do wielowymiarowego politopu. Teraz mogę to mniej lub bardziej zwizualizować w kategoriach geometrycznych, i to ma sens.

PO CO?: matematyka często wydaje się być nauką o liczbach, ale liczby pozwalają nam jedynie badać wzór i strukturę – rzeczywisty cel matematyki. To często prowadzi do potężnych, ale abstrakcyjnych pojęć, najlepiej opisanych przez algebrę, ale najłatwiejszych do „zobaczenia” przy użyciu innej gałęzi studiów matematycznych: Geometria – badanie kształtu! Używanie geometrycznych wizualizacji do opisywania pojęć algebraicznych jest tak potężnym narzędziem, że przestępstwem byłoby ograniczenie jego badań do trzech wymiarów przestrzennych, w których żyjemy. Stąd wszystkie cudowne wynalazki matematyczne w tym słowniku. Przeczytaj więcej o łączeniu algebry i geometrii tutaj.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.