House of Maths School Workshops Primary & Secondary in Dorset & South-ADVENTURES IN the FOURTH DIMENSION

inleiding: stel je een koorddanser voor: ze kan haar positie slechts in één richting veranderen: vooruit & achteruit, dus we hebben maar één nummer nodig-hoe ver ze langs het touw is – om haar positie te specificeren. Dat is één dimensie!

stel je nu een mier voor die op een tafelblad kruipt: de mier kan naar voren & achterwaarts of naar links & rechts kruipen, en we hebben nu twee getallen nodig (bijvoorbeeld de horizontale en verticale afstand van de mier van een bepaalde hoek van de tabel) om precies te bepalen waar de mier zich bevindt. Dat is een extra graad van vrijheid: twee dimensies!

en ten slotte, stel je voor dat je een jetpack draagt: je kunt je nu vrij bewegen in alle drie onze ruimtelijke dimensies: vooruit & terug, links & rechts, en omhoog & omlaag. Er zijn nu drie getallen nodig om uw positie op een bepaald moment te beschrijven, bijvoorbeeld breedtegraad, lengtegraad en hoogte. Dat zijn drie dimensies!

als je denkt dat dit leuk klinkt, stel je dan voor hoe cool het zou zijn als er een vierde, nieuwe richting was waarin je ook zou kunnen reizen! Hoe zou de 4-dimensionale ruimte eruit zien, en wat voor vormen zou het bewonen?

de Woordenlijst:

TESSERACT: het volgende woord in de reeks: vierkant, kubus,…? De rand van een vierkant bestaat uit vier lijnsegmenten; het oppervlak van een kubus bestaat uit zes vierkanten; dus het” hyperoppervlak ” van een tesseract bestaat uit acht blokjes!

Als $x^2$ $x $ kwadraat wordt genoemd, en $x^3$= $x$ cubed wordt genoemd, dan zou $x^4$ misschien “$x$ tesseracted”moeten worden genoemd?!

hier zijn enkele pogingen van ons gewone mensen om een Tesseract te tekenen, gebaseerd op het idee dat je een kubus kunt tekenen door overeenkomstige hoeken van twee licht offset vierkantjes te verbinden; deze tesseracten worden gemaakt door overeenkomstige hoekpunten van twee licht offset kubussen te verbinden.

4D tekening van een kubus

4D Tesseract cube in cube 4D Tesseract lijnen

DALI CROSS: een ” net “van een Tesseract, bestaande uit 8 kubussen waarvan we denken dat ze zouden kunnen” vouwen ” om een Tesseract te maken op dezelfde manier als het kubusnet laat zien bestaat uit 6 vierkantjes die opvouwen om een kubus te maken. Genoemd naar de kunstenaar Salvador Dali, die er een gebruikte in zijn 1954 surrealistische schilderij “Corpus Hypercubus”. Er zijn 11 verschillende netten van een kubus, en 261 verschillende octocubale netten van een Tesseract. Dus daar! Dank u Stella Software en Wikimedia.org voor dit fabelachtige beeld van het Dali Kruis!

kubusnet 1

kubusnet 1

kubusnet 2

kubusnet 2

4D Dali-Kruis

DALI-kruis

hyperkubus: het n-dimensionale analoog van het woord “vierkant”. Vierkanten, blokjes en tesseracten zijn alle soorten hyperkubussen.

POLYTOOP: de veralgemening van een veelvlak (“vele vlakke zijden / zijden”) tot 4 of meer afmetingen. Een veelhoek (b. v. driehoek, achthoek) is een 2D-object waarvan de grenzen lijnsegmenten zijn, een veelhoek (b. v. kubus, piramide) is een 3D-object begrensd door polygonen, en dus een POLYTOOP, (b. v. tesseract, zie later voor een ander voorbeeld) voor een wezen dat het geluk heeft vier ruimtelijke dimensies te bewonen, zou een 4D object zijn waarvan de grenzen veelvlakken zijn.

cel: het volgende woord in de reeks vertex, edge, face,…? De twee grenspunten van een rand worden hoekpunten genoemd; de drie of meer grenzen van een gezicht worden randen genoemd, de vier of meer grenzen van een veelvlak worden gezichten genoemd, en de vijf of meer grenzen van een 4D polytoop worden “cellen”genoemd. Een Tesseract wordt begrensd door 8 kubusvormige cellen, op dezelfde manier als een kubus wordt begrensd door 6 vierkante vlakken.

hypervlak: spreidingsgrafieken in de 2-dimensionale ruimte hebben een regel die het best past; in de 3-D-ruimte kunnen onze punten op een spreidingsgrafiek een vlak hebben dat het best past; en in de 4D-ruimte moeten we een … wat is het woord?… oh ja, een “hyperplane” van best fit!

4D regressievlak

een vlak dat het best past op een spreidingsgrafiek met twee voorspellende variabelen. Maar hoe zou een hyperplane-of-best-fit eruit zien op een spreidingsgrafiek met drie of meer voorspellende variabelen?

SIMPLEX: het volgende woord in de reeks lijnsegment, driehoek, tetraëder,…? Een driehoek is een veelhoek die wordt begrensd door drie lijnsegmenten; een tetraëder is een veelhoek die wordt begrensd door vier driehoeken; en zo is een 4-Simplex een “polytoop” (zie boven!) begrensd door vijf tetrahedra. De 5D versie heet een 5-Simplex. Ik heb vaak het “Simplex algoritme” aan mijn A-niveau studenten geleerd, maar heb het nooit echt “begrepen” totdat ik een uitleg las over hoe het algoritme werkt in relatie tot een multidimensionale polytoop. Nu kan ik het min of meer visualiseren in geometrische termen, en het is een beetje logisch.

WAT HEEFT HET VOOR ZIN?: wiskunde lijkt vaak de studie van getallen te zijn, maar getallen laten ons alleen toe om patroon en structuur te bestuderen – het echte doel van wiskunde. Dit leidt vaak tot krachtige maar abstracte concepten, het best beschreven door algebra, maar het makkelijkst te “zien” met behulp van een andere tak van de wiskundige studie: meetkunde – de studie van de vorm! Het gebruik van meetkundige visualisaties om algebraïsche concepten te beschrijven is zo ‘ n krachtig instrument dat het een misdaad zou zijn om zijn studie te beperken tot slechts de drie ruimtelijke dimensies waarin we toevallig leven. Vandaar alle prachtige wiskundige uitvindingen in deze woordenlijst. Lees hier meer over het koppelen van algebra en meetkunde.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.