Ateliers de l’École de la Maison des Mathématiques Primaire et Secondaire dans le Dorset et le Sud – AVENTURES DANS LA QUATRIÈME DIMENSION

INTRODUCTION: imaginez un funambule: elle ne peut changer sa position que dans une direction: en avant & en arrière, nous avons donc besoin d’un seul numéro – à quelle distance elle se trouve – pour spécifier sa position. C’est une dimension !

Imaginez maintenant une fourmi rampant sur une table: la fourmi peut ramper vers l’avant & vers l’arrière ou vers la gauche & vers la droite, et nous avons maintenant besoin de deux nombres (par exemple, la distance horizontale et verticale de la fourmi à partir d’un coin particulier de la table) pour localiser exactement où se trouve la fourmi. C’est un degré de liberté supplémentaire : deux dimensions!

Et enfin, imaginez-vous en jetpack: vous pouvez désormais vous déplacer librement dans les trois dimensions spatiales: en avant & en arrière, à gauche & à droite ET en haut & en bas. Trois chiffres sont maintenant nécessaires pour décrire votre position à un moment donné, par exemple la latitude, la longitude et l’altitude. C’est trois dimensions!

Si vous pensez que cela semble amusant, imaginez à quel point ce serait cool s’il y avait une quatrième nouvelle direction dans laquelle vous pourriez également voyager! À quoi ressemblerait l’espace à 4 dimensions et quelles sortes de formes l’habiteraient ?

LE GLOSSAIRE :

TESSERACT : le mot suivant de la séquence : carré, cube,? ? Le bord d’un carré se compose de quatre segments de ligne; la surface d’un cube se compose de six carrés; donc l' »hypersurface » d’un tesseract se compose de huit cubes!

Si $x^2$ est appelée $x$ au carré, et $x^3$= est appelée $x$ en cubes, puis peut-être que $x^4$ devrait être appelé « $x$ tesseracted »?!

Voici quelques tentatives par nous, simples humains, de dessiner un tesseract, basées sur l’idée que vous pouvez dessiner un cube en reliant les coins correspondants de deux carrés légèrement décalés; ces tesseracts sont réalisés en reliant les sommets correspondants de deux cubes légèrement décalés.

 Dessin 4D d'un cube

 Cube tesseract 4D en cube  Lignes tesseract 4D

CROIX DE DALI: un « filet » d’un tesseract, composé de 8 cubes que nous imaginons pouvoir « plier » pour faire un tesseract de la même manière que le filet cube montre est constitué de 6 carrés qui se plient pour faire un cube. Nommé d’après l’artiste Salvador Dali, qui en a utilisé un dans sa peinture surréaliste de 1954 « Corpus Hypercubus ». Il y a 11 filets différents d’un cube et 261 filets octocubaux distincts d’un tesseract. Alors là! Merci Stella Software et Wikimedia.org pour cette fabuleuse image de la Croix de Dali!

 filet cube 1

filet cube 1

 filet cube 2

filet cube 2

 Croix de Dali 4D

CROIX de DALI

HYPERCUBE: l’analogue à n dimensions du mot « carré ». Les carrés, les cubes et les tesseracts sont tous des types d’hypercube.

POLYTOPE : la généralisation d’un polyèdre (« plusieurs côtés/faces plats ») à 4 dimensions ou plus. Un polygone (par exemple triangle, octogone) est un objet 2D dont les limites sont des segments de ligne, un polyèdre (par exemple cube, pyramide) est un objet 3D délimité par des polygones, et donc un POLYTOPE, (par exemple tesseract, voir plus loin pour un autre exemple) pour tout être assez chanceux pour habiter quatre dimensions spatiales, serait un objet 4D dont les limites sont des polyèdres.

CELLULE: le mot suivant dans la séquence sommet, bord, face,?? Les deux points limites d’une arête sont appelés sommets; les trois limites ou plus d’une face sont appelées arêtes, les quatre limites ou plus d’un polyèdre sont appelées faces et les cinq limites ou plus d’un polytope 4D sont appelées « cellules ». Un tesseract est délimité par 8 cellules en forme de cube, de la même manière qu’un cube est délimité par 6 faces en forme de carré.

HYPERPLAN: les graphes de dispersion dans l’espace à 2 dimensions ont une ligne de meilleur ajustement; dans l’espace 3D, nos points sur un graphe de dispersion pourraient avoir un plan de meilleur ajustement; et dans l’espace 4D, nous devrions adapter un a quel est le mot?oh oh oui, un « hyperplan » de meilleur ajustement !

 Plan de régression 4D

Un plan de meilleur ajustement sur un graphe de dispersion avec deux variables prédictives. Mais à quoi ressemblerait un hyperplan du meilleur ajustement sur un graphique de dispersion avec trois variables prédictives ou plus?

SIMPLEX: le mot suivant dans le segment de ligne de séquence, triangle, tétraèdre,?? Un triangle est un polygone délimité par trois segments de droite ; un tétraèdre est un polyèdre délimité par quatre triangles; et donc un 4-Simplexe est un « polytope » (voir ci-dessus!) délimité par cinq tétraèdres. La version 5D est appelée 5-Simplex. J’ai souvent enseigné « l’algorithme simplexe » à mes étudiants de niveau A, mais je ne l’ai jamais vraiment « compris » avant de lire une explication du fonctionnement de l’algorithme par rapport à un polytope multidimensionnel. Maintenant, je peux plus ou moins le visualiser en termes géométriques, et cela a un peu de sens.

QUEL EST L’INTÉRÊT?: les mathématiques semblent souvent être l’étude des nombres, mais les nombres nous permettent simplement d’étudier le modèle et la structure – le véritable objectif des mathématiques. Cela conduit souvent à des concepts puissants mais abstraits, mieux décrits par l’algèbre mais plus faciles à « voir » en utilisant une branche différente de l’étude mathématique: la géométrie – l’étude de la forme! Utiliser des visualisations géométriques pour décrire des concepts algébriques est un outil si puissant que ce serait un crime de limiter son étude aux trois dimensions spatiales dans lesquelles nous vivons. D’où toutes les merveilleuses inventions mathématiques de ce glossaire. En savoir plus sur la liaison de l’algèbre et de la géométrie ici.

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