House of Math School Workshops Primary & Secondary in Dorset & South-ADVENTURES in the FOURTH DIMENSION

INTRODUCTION: imagine a nuorallakävelijä: hän voi muuttaa asentoaan vain yhteen suuntaan: eteenpäin & taaksepäin, joten tarvitsemme vain yhden numeron – kuinka pitkällä köydellä hän on – määrittääksemme sijaintinsa. Se on yksi ulottuvuus!

kuvittele nyt muurahainen ryömimässä pöydällä: muurahainen voi ryömiä eteenpäin & taaksepäin tai vasemmalle & oikealle, ja nyt tarvitaan kaksi numeroa (esim.muurahaisen vaaka-ja pystysuuntainen etäisyys tietystä taulukon kulmasta), jotta voidaan osoittaa tarkasti, missä muurahainen on. Se on ylimääräinen vapauden aste: kaksi ulottuvuutta!

ja lopuksi, kuvittele itsesi kantamassa rakettireppua: voit nyt liikkua vapaasti kaikissa kolmessa ulottuvuudessamme: eteenpäin & taakse, vasemmalle & oikealle ja ylös & alas. Kolme numeroa tarvitaan nyt kuvaamaan sijaintiasi tiettynä aikana, esim. leveys -, pituus-ja korkeussuunnassa. Kolme ulottuvuutta!

jos se kuulostaa mielestäsi hauskalta, kuvittele, miten siistiä olisi, jos olisi neljäs, uusi suunta, johon voisit myös matkustaa! Miltä 4-ulotteinen avaruus näyttäisi ja millaisia muotoja siinä asuttaisi?

sanasto:

TESSERAKTI: seuraava sana järjestyksessä: neliö, kuutio,…? Neliön reuna koostuu neljästä viivasegmentistä; kuution pinta koostuu kuudesta neliöstä; niinpä Tesseraktin” hypersurface ” koostuu kahdeksasta kuutiosta!

jos $x^2$ on nimeltään $x$ neliö, ja $x^3$= on nimeltään $X$ cubed, niin ehkä $x^4$ pitäisi kutsua ”$x$ tesseracted”?!

tässä on muutamia meidän pelkkien ihmisten yrityksiä piirtää tesserakti, joka perustuu siihen ajatukseen, että kuution voi piirtää liittämällä toisiinsa kahden hieman offsetoidun neliön vastaavat kulmat; nämä tesseraktit tehdään liittämällä kahden hieman offsetoidun kuution vastaavat kärkipisteet.

4D kuution piirtäminen

4D tesseraktikuutio kuutiossa 4D tesseraktiviivat

Dalin risti: a ” net ”on Tesseract, joka koostuu 8 kuutioita, jotka kuvittelemme voisi” taita ” tehdä tesseract samalla tavalla, että kuution net osoittaa koostuu 6 neliöt, jotka kertaiseksi tehdä kuution. Nimetty taiteilija Salvador Dalin mukaan, joka käytti sellaista vuonna 1954 surrealistisessa maalauksessaan ”Corpus Hypercubus”. Kuution eri verkkoja on 11 ja Tesseraktin erillisiä oktokubaalisia verkkoja 261. No niin! Kiitos Stella Software ja Wikimedia.org tästä upeasta Dali-ristin kuvasta!

kuutioverkko 1

kuutioverkko 1

kuutioverkko 2

kuutioverkko 2

4D Dalin Risti

Dalin risti

hyperkuutio: sanan ”neliö”n-ulotteinen analogi. Neliöt, kuutiot ja tesseraktit ovat kaikenlaisia hyperkuutioita.

POLYTOOPPI: monitahokkaan (”monet litteät sivut / tahkot”) yleistäminen 4: ään tai useampaan ulottuvuuteen. Monikulmio (esim. kolmio, kahdeksankulmio) on 2D-kappale, jonka rajat ovat viivasegmenttejä, monitahokas (esim. kuutio, pyramidi) on monikulmioiden rajaama 3D-kappale ja siten POLYTOOPPI, (esim. tesseract, Katso myöhemmin toinen esimerkki) tahansa onnekas asuttaa neljä avaruudellista ulottuvuutta, olisi 4D-objekti, jonka rajat ovat monitahokkaita.

solu: seuraava sana järjestyksessä vertex, edge, face,…? Särmän kahta reunapistettä kutsutaan verticesiksi; Tahkon kolmea tai useampaa rajaa kutsutaan särmiksi, monitahokkaan neljää tai useampaa rajaa tahoiksi ja 4D-polytoopin viittä tai useampaa rajaa ”soluiksi”. Tesseraktia rajoittaa 8 kuutionmuotoista solua samalla tavalla kuin kuutiota rajoittaa 6 neliön muotoista tahkoa.

HYPERPLANE: 2-ulotteisessa avaruudessa scatter-kuvaajilla on rivi, joka sopii parhaiten; 3-D-avaruudessa pisteemme scatter-kuvaajalla voivat olla parhaiten sopivat tasot; ja 4D-avaruudessa meidän on sovittava … mikä on sana?… Kyllä, ”hyperplane”sopii parhaiten!

4D-regressiotaso

taso, joka sopii parhaiten hajontagrammiin, jossa on kaksi prediktorimuuttujaa. Mutta mitä hyperplane-of-best-fit näyttää on scatter kuvaaja, jossa on kolme tai useampia predictor muuttujia?

SIMPLEX: seuraava sana jonon janassa, kolmio, tetraedri,…? Kolmio on monikulmio, jota rajoittaa kolme suoraa segmenttiä; tetraedri on monitahokas, jota rajoittaa neljä kolmiota; ja niin 4-Simplex on ”polytooppi” (KS. edellä!) rajoittuu viiteen tetraedriin. 5D-versiota kutsutaan 5-Simplexiksi. Olen usein opettanut ” Simplex-algoritmia ”A-tason oppilailleni, mutta en koskaan oikeastaan” saanut sitä ” ennen kuin luin selityksen siitä, miten algoritmi toimii suhteessa moniulotteiseen polytooppiin. Nyt voin enemmän tai vähemmän visualisoida sen geometrisesti, ja se tavallaan käy järkeen.

MITÄ JÄRKEÄ?: matematiikka näyttää usein olevan lukujen tutkimista, mutta numeroiden avulla voidaan vain tutkia kaavoja ja rakennetta – matematiikan todellista päämäärää. Tämä johtaa usein voimakkaisiin mutta abstrakteihin käsitteisiin, joita parhaiten kuvaa algebra, mutta helpointa ”nähdä” käyttämällä eri matemaattisen tutkimuksen haaraa: geometria – muodon tutkimus! Geometristen visualisointien käyttäminen algebrallisten käsitteiden kuvaamiseen on niin tehokas työkalu, että olisi rikos rajoittaa sen tutkimus vain kolmeen avaruudelliseen ulottuvuuteen, joissa satumme asumaan. Siksi kaikki tämän sanaston ihmeelliset matemaattiset keksinnöt. Lue lisää algebran ja geometrian yhdistämisestä täältä.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.