House of Maths School Workshops Primary & Secondary in Dorset & South – ABENTEUER IN DER VIERTEN DIMENSION

EINFÜHRUNG: Stellen Sie sich eine Seiltänzerin vor: Sie kann ihre Position nur in eine Richtung ändern: vorwärts & rückwärts, also brauchen wir nur eine Zahl – wie weit sie entlang des Seils ist –, um ihre Position anzugeben. Das ist eine Dimension!

Stellen Sie sich nun eine Ameise vor, die auf einer Tischplatte kriecht: die Ameise kann vorwärts & rückwärts oder links & rechts kriechen, und wir brauchen jetzt zwei Zahlen (z. B. den horizontalen und vertikalen Abstand der Ameise von einer bestimmten Ecke des Tisches), um genau zu bestimmen, wo sich die Ameise befindet. Das ist ein zusätzlicher Freiheitsgrad: zwei Dimensionen!

Und zum Schluss stell dir vor, du trägst ein Jetpack: Du kannst dich jetzt in allen drei Raumdimensionen frei bewegen: vorwärts & zurück, links & rechts UND oben & unten. Drei Zahlen sind jetzt erforderlich, um Ihre Position zu einem bestimmten Zeitpunkt zu beschreiben, z. B. Breitengrad, Längengrad und Höhe. Das sind drei Dimensionen!

Wenn Sie denken, das klingt lustig, stellen Sie sich vor, wie cool es wäre, wenn es eine vierte, neue Richtung gäbe, in die Sie auch reisen könnten! Wie würde der 4-dimensionale Raum aussehen und welche Formen würden ihn bewohnen?

DAS GLOSSAR:

TESSERACT: das nächste Wort in der Folge: Quadrat, Würfel, …? Der Rand eines Quadrats besteht aus vier Liniensegmenten; Die Oberfläche eines Würfels besteht aus sechs Quadraten; Die „Hyperfläche“ eines Tesserakts besteht also aus acht Würfeln!

Wenn $ x ^ 2 $ als $x $ squared und $x ^ 3$= als $x$ cubed bezeichnet wird, sollte $x ^ 4 $ vielleicht als „$ x $ tesseraced“ bezeichnet werden?!

Hier sind einige Versuche von uns Menschen, einen Tesseract zu zeichnen, basierend auf der Idee, dass Sie einen Würfel zeichnen können, indem Sie entsprechende Ecken von zwei leicht versetzten Quadraten verbinden; Diese Tesseracts werden hergestellt, indem entsprechende Eckpunkte von zwei leicht versetzten Würfeln verbunden werden.

4D Zeichnen eines Würfels

 4D tesseract Würfel im Würfel 4D tesseract Linien

DALI KREUZ: ein „Netz“ aus einem Tesseract, bestehend aus 8 Würfeln, die wir uns vorstellen, könnte „zusammenklappen“, um einen Tesseract in der gleichen Weise zu machen, dass das Würfelnetz zeigt, besteht aus 6 Quadraten, die zusammenklappen, um einen Würfel zu machen. Benannt nach dem Künstler Salvador Dali, der 1954 in seinem surrealistischen Gemälde „Corpus Hypercubus“ einen verwendete. Es gibt 11 verschiedene Netze eines Würfels und 261 verschiedene Oktokubennetze eines Tesserakts. Also da! Danke Stella Software und Wikimedia.org für dieses fabelhafte Bild des Dali-Kreuzes!

Würfelnetz 1

Würfelnetz 1

 würfelnetz 2

Würfelnetz 2

 4D Dali Cross

DALI CROSS

HYPERCUBE: das n-dimensionale Analogon des Wortes „Quadrat“. Quadrate, Würfel und Tesseracts sind alle Arten von Hyperwürfeln.

POLYTOP: die Verallgemeinerung eines Polyeders („viele flache Seiten / Flächen“) auf 4 oder mehr Dimensionen. Ein Polygon (z. B. Dreieck, Achteck) ist ein 2D-Objekt, dessen Grenzen Liniensegmente sind, ein Polyeder (z. B. Würfel, Pyramide) ist ein 3D-Objekt, das durch Polygone begrenzt ist, und so ein POLYTOP (z. tesseract, siehe später für ein anderes Beispiel) für jedes Wesen, das das Glück hat, vier räumliche Dimensionen zu bewohnen, wäre ein 4D-Objekt, dessen Grenzen Polyeder sind.

ZELLE: das nächste Wort in der Folge vertex, edge, face, …? Die zwei Begrenzungspunkte einer Kante werden Eckpunkte genannt; die drei oder mehr Grenzen einer Fläche werden Kanten genannt, die vier oder mehr Grenzen eines Polyeders werden Flächen genannt, und die fünf oder mehr Grenzen eines 4D-Polytops werden „Zellen“ genannt. Ein Tesserakt wird von 8 würfelförmigen Zellen begrenzt, genauso wie ein Würfel von 6 quadratischen Flächen begrenzt wird.

HYPEREBENE: Streudiagramme im 2-dimensionalen Raum haben eine Linie der besten Passform; Im 3-D-Raum könnten unsere Punkte auf einem Streudiagramm eine Ebene der besten Passform haben; und im 4D-Raum müssten wir eine … was ist das Wort?… oh ja, ein „Hyperplane“ der besten Passform!

4D-Regressionsebene

Eine Ebene der besten Anpassung auf einem Streudiagramm mit zwei Prädiktorvariablen. Aber wie würde eine Hyperebene der besten Anpassung in einem Streudiagramm mit drei oder mehr Prädiktorvariablen aussehen?

SIMPLEX: das nächste Wort in der Folge Zeilensegment, Dreieck, Tetraeder,…? Ein Dreieck ist ein Polygon, das von drei Liniensegmenten begrenzt wird; Ein Tetraeder ist ein Polyeder, das von vier Dreiecken begrenzt wird; und so ist ein 4-Simplex ein „Polytop“ (siehe oben!) durch fünf Tetraeder begrenzt. Die 5D-Version wird als 5-Simplex bezeichnet. Ich habe meinen Abiturienten oft den „Simplex-Algorithmus“ beigebracht, aber nie wirklich „verstanden“, bis ich eine Erklärung gelesen habe, wie der Algorithmus in Bezug auf ein mehrdimensionales Polytop funktioniert. Jetzt kann ich es mehr oder weniger geometrisch visualisieren, und es macht irgendwie Sinn.

WAS IST DER SINN?: mathematik scheint oft das Studium von Zahlen zu sein, aber Zahlen erlauben uns lediglich, Muster und Struktur zu studieren – das eigentliche Ziel der Mathematik. Dies führt oft zu leistungsfähigen, aber abstrakte Konzepte, am besten durch Algebra beschrieben, aber am einfachsten zu „sehen“ mit einem anderen Zweig der mathematischen Studie: Geometrie – das Studium der Form! Die Verwendung geometrischer Visualisierungen zur Beschreibung algebraischer Konzepte ist ein so mächtiges Werkzeug, dass es ein Verbrechen wäre, seine Untersuchung nur auf die drei räumlichen Dimensionen zu beschränken, in denen wir leben. Daher all die wunderbaren mathematischen Erfindungen in diesem Glossar. Lesen Sie hier mehr über die Verknüpfung von Algebra und Geometrie.

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