House of Maths School Workshops Primary & Secondary in Dorset & South – ADVENTURES IN the FOURTH DIMENSION

Úvod: představte si provazochodce: může změnit svou pozici pouze jedním směrem: dopředu & dozadu, takže potřebujeme jen jedno číslo – jak daleko je podél lana – k určení její pozice. To je jedna dimenze!

nyní si představte mravence plazícího se na stole: mravenec se může plazit dopředu & dozadu nebo doleva & doprava a nyní potřebujeme dvě čísla (např. horizontální a vertikální vzdálenost mravence od určitého rohu tabulky), abychom přesně určili, kde je mravenec. To je další stupeň svobody: dvě dimenze!

a nakonec si představte, že nosíte jetpack: nyní se můžete volně pohybovat ve všech třech našich prostorových rozměrech: vpřed & zpět, vlevo & vpravo a nahoru & dolů. K popisu vaší pozice v daném čase jsou nyní vyžadována tři čísla, např. zeměpisná šířka, délka a nadmořská výška. To jsou tři dimenze!

pokud si myslíte, že to zní zábavně, představte si, jak skvělé by bylo, kdyby existoval čtvrtý, nový směr, kterým byste mohli také cestovat! Jak by vypadal 4rozměrný prostor a jaké tvary by ho obývaly?

glosář:

TESSERACT: další slovo v pořadí: čtverec, krychle,…? Okraj čtverce se skládá ze čtyř liniových segmentů; povrch krychle se skládá ze šesti čtverců; takže „hypersurface“ Tesseractu se skládá z osmi kostek!

pokud se $x^2$ nazývá $x$ na druhou a $x^3$= se nazývá $x $ cubed, pak by se $x^4$ mělo nazývat „$x$ tesser“?!

zde jsou některé pokusy nás obyčejných lidí nakreslit tesseract, založené na myšlence, že můžete nakreslit kostku spojením odpovídajících rohů dvou mírně posunutých čtverců; tyto tesseracty jsou vytvořeny spojením odpovídajících vrcholů dvou mírně posunutých kostek.

4D kreslení krychle

4D Tesseract cube in cube 4D Tesseract lines

DALI CROSS: „síť“ z tesseract, skládající se z 8 kostek, které si představujeme, že by mohl „složit“, aby se tesseract stejným způsobem, že cube net ukazuje se skládá ze 6 čtverců, které složit, aby se krychle. Pojmenováno po umělci Salvadoru Dalím, který jeden použil ve svém surrealistickém obraze „Corpus Hypercubus“ z roku 1954. Existuje 11 různých sítí krychle a 261 odlišných oktokubálních sítí Tesseractu. Takže tam! Děkuji Stella Software a Wikimedia.org pro tento fab obraz Dalího kříže!

cube net 1

cube net 1

cube net 2

cube net 2

4D Dali kříž

DALI kříž

HYPERCUBE: n-dimenzionální Analog slova „čtverec“. Čtverce, kostky a teserakty jsou všechny typy hypercube.

POLYTOPE: zobecnění mnohostěnu („mnoho plochých stran / ploch“) na 4 nebo více rozměrů. Mnohoúhelník (např. trojúhelník, osmiúhelník) je 2D objekt, jehož hranice jsou úsečky, mnohostěn (např. krychle, pyramida) je 3D objekt ohraničený mnohoúhelníky, a tedy POLYTOP, (např. tesseract, viz další příklad) pro každého, kdo má to štěstí, že obývá čtyři prostorové dimenze, by byl 4D objekt, jehož hranice jsou polyhedry.

buňka: další slovo v pořadí vrchol, okraj, obličej,…? Dva hraniční body hrany se nazývají vrcholy; tři nebo více hranic obličeje se nazývají hrany, čtyři nebo více hranic mnohostěnu se nazývají tváře, a pět nebo více hranic 4D polytopu se nazývá „buňky“. Tesseract je ohraničen 8 buňkami ve tvaru krychle, stejně jako kostka je ohraničena 6 čtvercovými plochami.

HYPERPLANE: rozptylové grafy ve 2-dimenzionálním prostoru mají řadu nejlepší fit; v 3 – D prostoru naše body na scatter grafu by mohla mít rovinu nejlepší fit; andin 4D prostoru bychom se vešly … co je to slovo ? … Ach ano, „hyperplane“ nejlepší fit!

4D regresní rovina

rovina nejlepší fit na scatter grafu se dvěma proměnnými prediktoru. Ale jak by hyperplane-of-best-fit vypadat na scatter grafu se třemi nebo více proměnnými prediktoru?

SIMPLEX: další slovo v segmentu posloupnosti, trojúhelník, čtyřstěn,…? Trojúhelník je mnohoúhelník ohraničený třemi segmenty čáry; čtyřstěn je mnohostěn ohraničený čtyřmi trojúhelníky; a tak 4-Simplex je „polytop“ (viz výše!) ohraničený pěti čtyřstěny. Verze 5D se nazývá 5-Simplex. Často jsem učil „simplexní algoritmus“ svým studentům na úrovni A, ale nikdy jsem to „nedostal“ , dokud jsem nečetl vysvětlení toho, jak algoritmus funguje ve vztahu k vícerozměrnému polytopu. Teď si to můžu víceméně představit geometricky a dává to smysl.

JAKÝ TO MÁ SMYSL?: matematika se často jeví jako studium čísel, ale čísla nám pouze umožňují studovat vzorec a strukturu-skutečný cíl matematiky. To často vede k silným, ale abstraktním konceptům, nejlépe popsaným algebrou, ale nejsnadněji „vidět“ pomocí jiné větve matematického studia: geometrie-studium tvaru! Použití geometrických vizualizací k popisu algebraických konceptů je tak mocným nástrojem, že by bylo zločinem omezit jeho studium pouze na tři prostorové dimenze, ve kterých žijeme. Proto všechny úžasné matematické vynálezy v tomto glosáři. Přečtěte si více o propojení algebry a geometrie zde.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna.